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卡尔曼滤波器

卡尔曼滤波器

Kalman filter

卡尔曼滤波器是一种有效的递推滤波器，通过一系列噪声测量估计线性动态系统的内部状态.

The Kalman filter is an efficient recursive filter estimating the internal-state of a linear dynamic system from a series of noisy measurements.

估计误差：\(e_{EST}\) error estimate
测量误差：\(e_{MEA}\) error measurement
卡尔曼增益:\(K_k\) Kalman Gain

\[\hat{x}_k = \hat{x}_{k-1} + K_k(x_k -\hat{x}_{k-1})\]

\[K_k = \frac{{e_{EST}}_{k-1}}{{e_{EST}}_{k-1}+{e_{MEA}}_{k}}\]

如：在k时刻
① \({e_{EST}}_{k-1} \gg {e_{MEA}}_{k}\) 那么\(K_k \to 1\) , \(\hat{x}_k = x_k\)
① \({e_{EST}}_{k-1} \ll {e_{MEA}}_{k}\) 那么\(K_k \to 0\) , \(\hat{x}_k = \hat{x}_{k-1}\)

step 1:计算\(K_k\)
step 2:计算\(\hat{x}_k = \hat{x}_{k-1} + K_k(x_k -\hat{x}_{k-1})\)
step 3:更新估计误差\(e_{EST} = (1-K_k){e_{EST}}_{k-1}\)

取均值

比如k次x均值：
均值\(\hat{x}_k = \frac{1}{k}(x_1+...+x_k) = \frac{1}{k} \frac{k-1}{k-1} (x_1+...+x_{k-1}) + \frac{1}{k} x_k = \frac{k-1}{k} \hat{x}_{k-1} + \frac{1}{k} x_k = \hat{x}_{k-1} + \frac{1}{k}(x_k -\hat{x}_{k-1})\)

当前的估计值 = 上一次的估计值 + 系数 x (当前测量值-上一次的估计值)
系数就是卡尔曼增益，用\(K_k\)
随着k的增加，测量的结果不再重要

欧拉公式

Euler's formula:

\[e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\]

证明(Proofs):
令函数
\[{\displaystyle f(\theta )=e^{-i\theta }(\cos \theta +i\sin \theta )}\]

求导
\[{\displaystyle f'(\theta )=e^{-i\theta }(i\cos \theta -\sin \theta )-ie^{-i\theta }(\cos \theta +i\sin \theta )=0}\]

所以\(f(\theta )\)是个常数，我们知道\(f(0) = 1\)所以，对于所有的自变量\(f(\theta) = 1\)，得证。

傅里叶分析、傅立叶变换、傅立叶级数

傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06
视频 - 纯干货数学推导_傅里叶级数与傅里叶变换

傅里叶分析（Fourier analysis）可分为傅里叶级数（Fourier Series）和傅里叶变换(Fourier Transformation)

基础的正弦波a.sin(wt+θ)中，振幅(a)，频率(w)，相位(θ)缺一不可

频域（Frequency domain）：

傅里叶分析究竟是干什么用的？

  • 滤波（Wave filtering）是将信号中特定波段频率滤除的操作，是信号处理最重要的概念之一。

  • 求解微分方程
    因为除了要计算加减乘除，还要计算微分积分。而傅里叶变换则可以让微分和积分在频域中变为乘法和除法，大学数学瞬间变小学算术有没有。

函数的正交性：如：三角函数的正交性\(\int_{-\pi}^{\pi} \sin (nx) \cos (mx) = 0\)（当然这并不完整）

三角函数系：{1，sinx，cosx，sin2x，cos2x，sin3x，cos3x，sin4x，cos4x，...}
三角函数系在其一个周期[-pi,pi]上具有正交性
即三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在[-pi,pi]上的积分都等于零

周期函数:以\(T\)为周期的函数\(f(x+T) = f(x)\)
取\(\xi = \frac{2\pi x}{T}\), 则\(y(\xi) = f(\frac{T}{2\pi}\xi)\),且有

\[y(\xi+2\pi) = f(\frac{T}{2\pi}(\xi+2\pi)) = f(\frac{T}{2\pi}\xi+T) = f(\frac{T}{2\pi} \xi) = y(\xi)\]

因此，只研究周期为\(2\pi\)的函数就可以了。

周期函数的FOURIER级数

以\(2\pi\)为周期的函数的Fourier级数展开为

\[f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)\]

其中\(a_0,a_n,b_n,n = 1,2,...\)称为\(f(x)\)的Fourier系数，由下面的Euler-Fourier公式给出
\[a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)dx\]

\[b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)dx\]

上面的Euler-Fourier公式很容易计算：
首先对上述Fourier级数展开等式两边同时乘以\(\cos mx\),再对其在[-pi,pi]求积分
\[\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos (mx) dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{a_0}{2} \cos(mx) dx + \int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos (nx)\cos (mx)dx + \int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin (nx)\cos (mx) dx\]

第一项：\(\int_{-\pi}^{\pi} \frac{a_0}{2} \cos(mx) dx = \frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^{\pi} 1.\cos(mx) dx \) 由三角函数的正交性\(\int_{-\pi}^{\pi} 1.\cos(mx) dx=0\)
第三项由三角函数的正交性也一定等于0
第二项\(\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos (nx)\cos (mx)dx\)由三角函数的正交性，能唯一保留下来的就是\(n=m\)时的一项\(\int_{-\pi}^{\pi} a_n \cos (nx)\cos (mx)dx = a_n \int_{-\pi}^{\pi} \cos (nx)\cos (mx)dx = a_n\pi\)

所以\(\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos (mx) dx = a_n\pi ,m=n\)不就是\(a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)dx\)
同理求\(b_n\)时， 对等式左右两边同时乘以\(\sin(mx)\),再求积分

以\(T=2L\)为周期的函数的Fourier级数展开为:\(\omega = \frac{\pi}{L}= \frac{2\pi}{T}\)

\[f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}[a_n \cos(n\omega t) +b_n\sin(n\omega t)]\]

\[a_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T}f(t)\cos(n\omega t)dt\]

\[b_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T}f(t)\sin(n\omega t)dt\]

傅里叶级数的复数形式：\(\cos x = \frac{1}{2}(e^{ix} + e^{-ix}) , \sin x = -\frac{1}{2}i(e^{ix} - e^{-ix})\)
带入得到

\[f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n -ib_n}{2}e^{in\omega t} + \sum_{n=-\infty}^{-1} \frac{a_{-n} + ib_{-n}}{2}e^{in\omega t} \]

而\(\frac{a_0}{2} = \sum_{n=0}^0 \frac{a_0}{2} e^{in\omega t}\)
所以
\[f(t) = \sum_{-\infty}^{\infty} C_n e^{in\omega t}\]

从傅里叶级数推导傅里叶变换

非周函数，也就是周期\(T \to \infty\)

\[f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt e^{i\omega t} d\omega\]

Fourier transform(FT) :就是中间部分

\[F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt\]

Fourier inversion transform(FIT):

\[f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i\omega t} d\omega\]

Laplace transform: \(s=i\omega\) (Fourier transform看作一种特殊的Laplace transform)

\[F(s) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-s t} dt\]

tools

几个好用的数学软件

比如几何画板，Graphing Calculator 3D，grafeq, chaoscope,Mathstudio

微积分

在线计算矩阵微积分

wolframalpha

数学图形/数学工具
https://www.wolframalpha.com/ 这个网站其实是一个计算知识引擎

  • 在线积分计算器
  • 逆矩阵、行列式、利息、房贷等

mathematica

https://www.wolfram.com/mathematica/

gnuplot

交互式绘图工具
http://www.gnuplot.info/

你可以在c#程序中编写数据文件，从c#调用gnuplot可执行文件，并在c#图片框中显示生成的图像。

数学动画、数学图形

Desmos

图形计算器
比如：在网站中输入cos x + 0.1 cos 10x + 0.1 cos 100x

科学计算器

李萨如曲线:
Meta的Logo
What is the Meta logo?

https://student.desmos.com/?prepopulateCode=z44ema

Manim

https://github.com/3b1b/manim

Geogebra

各种计算机（图形、科学）
https://www.geogebra.org/graphing

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